Personal Succubus (Ab 16!)

> > Apropos 8: Erklär mir ma, warum jede ungerade Zahl (außer die 1) mit sich selbst multipliziert ein Vielfaches von 8 plus 1 ergibt! :]
> >
> > 3 x 3 = 1 x 8 + 1
> > 5 x 5 = 3 x 8 + 1
> > 7 x 7 = 6 x 8 + 1
> > usw.
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> Das hängt mit so ´nem Binärcodekram zusammen, nehm ich an. Erklär mal, damit ich nich googeln muss. ;-]

Jo... hol dir mal was zu trinken, es dauert länger...

Vorbemerkung: alle Platzhalter stehen für positive Ganzzahlen.

Die obige Aussage könnte man auch so formulieren:
Für jedes ungerade n mit n > 2 gilt:
n² = (x * 8) + 1

Da man jedes n als g + 1 ausdrücken kann, wobei g für eine gerade Zahl steht, gilt auch:
(g + 1)² = (x * 8) + 1
Nach der 1. Binomischen Formel (a+b)²=a+2ab+b²
kann man den Ausdruck (g + 1)² folgendermaßen auflösen:
(g + 1)² = g² + 2g + 1
Es gilt also:
g² + 2g + 1 = (x * 8) + 1 (denn beides ist gleich (g + 1)²)
Die 1 kann man auf beiden Seiten abziehen:
g² + 2g = x * 8
oder auch (wenn man g ausklammert)
g (g + 2) = x * 8

Diese Aussage bedeutet in Prosa:

"Jede gerade Zahl, multipliziert mit "sich selber + 2", ergibt ein Vielfaches von 8."

Dass dies stimmt, werde ich nun zeigen (damit ist dann auch die ursprüngliche Aussage bewiesen).

Zunächst betrachten wir einige Beispiele:
Für g = 2, 4, 6, 8... lautet die Gleichung:
2 (2 + 2) = 2 * 4 = 8 * 1
4 (4 + 2) = 4 * 6 = 8 * 3
6 (6 + 2) = 6 * 8 = 8 * 6
8 (8 + 2) = 8 * 10 = 8 * 10
... usw. usw.
Sieht schon ganz gut aus, oder? Es kommt tatsächlich jedesmal ein Vielfaches von 8 heraus.

Nun aber wieder abstrakt:
Um alle "Pärchen" mit "g" und "g+2" zu erwischen (wohlgemerkt, g sind nur gerade Zahlen),
können wir den Ausdruck auch so bezeichnen:
(2 + 2n) * (4 + 2n) wobei n = 1,2,3, ...

Dieser Ausdruck soll also für jedes n ein Vielfaches von 8 ergeben.
Um das zu prüfen, lösen wir die Multiplikation auf:
(2 * 4) + (2 * 2n) + (2n * 4) + (2n * 2n)
Zusammengefaßt kann man auch schreiben:
8 + 12n + 4n² Dieses soll ein Vielfaches von 8 sein.

Dass das Addieren von 8 nichts daran verändert, ob das Ergebnis ein "Vielfaches" von 8 ist (das Ergebnis wird nur ein x+1-faches statt ein x-faches), ist evident; näher betrachtet werden muß also nur noch 12n und 4n².

Wenn man 12 mit n = 1,2,3,... multipliziert, kommt abwechselnd
a) bei geraden n ein Vielfaches von 8 ohne Rest (24, 48, 72, ...) oder
b) bei ungeraden n ein Vielfaches von 8 mit Rest 4 (12, 36, 60, ...) heraus.

Wenn man sich den 2. Ausdruck anschaut, nämlich 4n², so ist das Ergebnis von n²
je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, stets eine gerade oder ungerade Zahl (genau wie n selbst).
Dieses Ergebnis, mit 4 multipliziert, wird immer...
a) bei geraden n ein Vielfaches von 8 ohne Rest ergeben und
b) bei ungeraden n ein Vielfaches von 8 mit Rest 4.

Ergo:
Für gerade n ergibt sich:
8 + "ein Vielfaches von 8" + "noch ein Vielfaches von 8"
Für ungerade n ergibt sich:
8 + ("ein Vielfaches von 8" + 4) + ("noch ein Vielfaches von 8" + 4)
Bei ungeraden n addieren sich also die beiden Teilerreste ebenfalls zu 8.

q.e.d.

(Quelle: http://www.seniorentreff.de/diskussion/archiv7/a135.html)

Als ich dich gefragt hab, wusst ichs aber selber noch nich. Denksten etwa, ich frag dich was, auf das ich die Antwort kenn? Nich immer. ;)

> > Apropos 8: Erklär mir ma, warum jede ungerade Zahl (außer die 1) mit sich selbst multipliziert ein Vielfaches von 8 plus 1 ergibt! :]
> >
> > 3 x 3 = 1 x 8 + 1
> > 5 x 5 = 3 x 8 + 1
> > 7 x 7 = 6 x 8 + 1
> > usw.
>
> Das hängt mit so ´nem Binärcodekram zusammen, nehm ich an. Erklär mal, damit ich nich googeln muss. ;-]

Ich seh grad, es geht noch viel schneller und einfacher:

(2n + 1)² = 8x + 1 ; für n = 1,2,3, ...
4n² + 4n + 1 = 8x + 1
4n² + 4n = 8x
4(n² + n) = 8x
n² + n = 2x
(n² + n) : 2 = x

Für jedes gerade n ist n² ebenfalls gerade, also ergibt n² + n für gerade n immer eine gerade Zahl.
Für jedes ungerade n ist n² ebenfalls ungerade, also ergibt n² + n für ungerade n auch immer eine gerade Zahl.

Also ist die letzte Gleichung (n² + n) : 2 = x für jedes ganzzahlige positive n und jedes ganzzahlige positive x gültig.

q.e.d.

Mathe is doch toll. :>

Übrigens: 23 + 32 + 23 = 78! :D